12 listopada 2008

Michael Shermer i debilizm matematyczny

Nasamprzód prostuje, iż chodzi o Michaela Shermera i mój debilizm matematyczny. Moje osiągnięcia z królowej nauk mam takie, że nie mam ich wcale, a moje oceny na jednym z półroczu szkoły średniej wyglądały dokładnie "111". Jeśli ktoś o (anty)umiejętnościach pokroju tych moich, zabiera się za rozwiązywanie matematycznych łamigłówek, musiało się wydarzyć naprawdę coś niecodziennego.

Michaela Shermera jest chyba najbardziej niedocenianym w naszym kraju, światowej sławy popularyzatorem nauki. Założyciel Skeptic Society, organizacji liczącej już kilkadziesiąt tysięcy członków (kiedy powstanie u nas projektu z podobnym rozmachem?), nie doczekał się w Polsce ani jednego wydania, choćby jednej, z kilkunastu książek jakie napisał. W Polsce, gdzie wydaje się takie farmazony jak "Na krawędzi prawdy" Dominika Myrcika, Pana z którym nie tak dawno miałem przyjemność rozmawiać, kiedy już na wstępie tego dzieła dowiadujemy się, iż wszyscy mężczyźni są co noc gwałceni przez kosmitów. Choć książki Shermera najwidoczniej nie potrafią pokonać naszej rodzimej twórczości, pozostają nam jego felietony, przedrukowywane przez Świat Nauki z Scientific American. Właśnie stamtąd pochodzi przedstawiany tu problem. Dwa ostatnie felietony, listopadowy i październikowy, poświęcone zostały niuansom rachunku prawdopodobieństwa. Oto krótki fragment:
Wyobraźmy sobie, że bierzemy udział w klasycznym teleturnieju "Idź na całość ". Przed nami troje drzwi. Za jednymi jest nowiutki samochód, za pozostałymi - kozy. Wybieramy drzwi numer jeden. Prowadzący program, który wie, co znajduje się za każdymi drzwiami, pokazuje nam, że za drzwiami z numerem dwa stoi koza, po czym pyta, czy nadal trwamy przy swoim wyborze, czy też może chcielibyśmy go zmienić? Zdrowy rozsądek podpowiada nam, że prawdopodobieństwo wygranej wynosi teraz pól na pół, więc zasadniczo nie ma to znaczenia, prawda? Otóż, nieprawda. Początkowo nasza szansa wygranej była jak 1:3, ale teraz, gdy prowadzący wskazał nam jedne z dwojga prowadzących do przegranej drzwi, mamy 2/3 szans na wygraną, jeśli wybierzemy drzwi numer trzy! Zaraz wyjaśnię dlaczego. Są trzy możliwe konfiguracje: (1) auto, koza, koza; (2) koza, auto, koza; (3) koza, koza, auto. W pierwszym przypadku zmiana pierwotnej decyzji wiedzie do przegranej, ale w drugim i trzecim daje wygraną. Przy tego rodzaju antyintuicyjnych paradoksach ludzie zaczynają mieć problemy z racjonalnym myśleniem, nie wyłączając matematyków i statystyków publicznie zarzucających ignorancję Marilyn vos Savant, która w 1990 roku opisała ten intrygujący przypadek w swoim felietonie w magazynie Parade.
Że jak do jasnej ciasnej? Jak (podkreślony tekst) wybranie ewentualnej konfiguracji numer 2 może doprowadzić nas do wygranej, jeśli pod bramką numer trzy kryje się przecież koza? Przetrząsłem internet wzdłuż i wrzesz i rozumiem już o co rozchodzi się w tym skrócie myślowym - co nie zmienia faktu, że dla tak zdebilałego umysłu jak mój, nie jest to nazbyt czytelnie sformowane. Dość szczegółowo wyjaśnia to angielska Wikipedia (o dziwo również na kozach i samochodzie), zaś krótkie tłumaczenie, wraz z innymi ciekawymi paradoksami, znajdziemy na stronie Instytutu Podstaw Informatyki PAN. Te zadziwiające równanie, znane nauce od ponad stu lat, nazywamy dziś paradoksem Monty Halla (prowadzącego oryginalną, amerykańską wersję "Idź na całość"), okazuje się w istocie zachodzić - pytanie tylko dlaczego do licha uczestnicy polsatowskiego hitu tak niechętnie zmieniali bramki i czemu tak trudno to wszystko pojąć?

Przejdźmy od razu do sytuacji z odkrytą już bramką numer dwa pod którą siedziała przycupnięta koza. Zostawmy także sytuacje w której uparcie uwzięliśmy się na bramkę numer jeden i załóżmy, że krył się pod nią samochód. Zastanówmy się co dokładnie zrobił Zygmunt Chajzer, pokazując nam jedną z kozich bramek, chcąc podwyższyć napięcie. Prawdopodobieństwo wygranej, jeśli zostaliśmy przy bramce numer jeden wynosi 33%. Zauważmy jednak, iż Pan Zygmunt z góry nie planował odkryć wybraną przez nas bramkę, aby przedłużyć ceremonie finałową, odkryć musiał pustą ale nie naszą. Z powodu tego, że nie jest to 33% w których wygraliśmy, kiedy samochód krył się pod bramką numer jeden, pod jedynką kryje się tu koza, a jeśli pod dwójką Chajzer odkrył nam także kozę, samochód znajdować się może tylko pod bramką numer trzy (rysunek poniżej) - stąd właśnie 66% szansa wygranej bo jej obraniu, stąd właśnie owe 2/3!


Dlaczego zrozumienie tego przypadku przychodzi nam z takim trudem? Pomimo tego, że odrobiłem zadanie domowe szykując się do napisania tej notki, kiedy przyszło co do czego, miałem lekkie problemy z wytłumaczeniem tego swoimi słowami. Dlaczego nawet matematyczne umysły mają tu nie lada problem? Bramkę numer jeden wybraliśmy, mając do wyboru trzy bramki. Po odjęciu bramki z kozą, stoi przed nami już zupełnie inna sytuacja, natomiast nas upartych przy pierwszej bramce, tyczy się wciąż sytuacja z 33% prawdopodobieństwem. Niechęć w zmienieniu wcześniej wytypowanej bramki jest nie wykorzystaniem nowych warunków wyboru. Umysł człowieka nie potrafi rozciągnąć tego wyboru, nie potrafi połączyć ze sobą tych dwóch sytuacji. Jako ludzie mamy biologiczną skłonność do rozpatrywania tego co teraz, gdyż właśnie takie myślenie, planowanie na podstawie tego jak jest obecnie, zapewniło nam ewolucyjny sukces. To właśnie wyciąganie wniosków z teraz, najbardziej aktualnej sytuacji, w przypadku paradoksu Monty Halla sprowadza nas na manowce. Jak pisze Shermer, powołując się na badania Stephena Pinkera, to co nasza psychika czuje jako "teraz" trwa zaledwie 3 sekundy. Jeśli dobrze pamiętam z psychologii, nasza pamięć podręczna mieści jedynie 7 elementów. Jeśli przechodząc z pokoju do pokoju w celu wykonania konkretnej czynności, zbyt intensywnie zaabsorbujemy się myśleniem, jeśli dotrze do nas zbyt wiele bodźców, nie będziemy pamiętali po co do niego przyszliśmy. Nasz bufor zostanie przepełniony. Informacja o celu wyprawy, będzie stopniowa przesuwana, aż wypadnie poza tą magiczną siódemkę. Uczestnicy "Idź na całość" nie zmieniali bramki z powodu braków w swojej inteligencji, nie zmieniali jej bo byli po prostu ludźmi.

3 komentarze:

  1. Chyba muszę to dobrze przeżuć, żeby zrozumieć...

    OdpowiedzUsuń
  2. Niesamowite, tylko kwadrans analiz, rozrysowanie wszystkich możliwości i Wikipediowa analogia ze 100 bramkami no i... wreszcie rozumiem, że ta "bzdura" faktycznie działa :) I nawet rozumiem jak :)

    OdpowiedzUsuń
  3. Niedawno wyczaiłem jeszcze coś innego Shermera, czy tam ściągnąłem to sobie z internetu, jeden pies :) Jest to cała książka napisana wraz z matematykiem Arturem Benjaminem "Secrets of Mental Math, The Mathemagician's Guide to Lightning Calculation and Amazing Math Tricks". Nie znalazłem tam co prawda tak odjechanych działań jak te powyższe, sa to raczej metody szybszego liczenia, ale też fajne.

    OdpowiedzUsuń